BARISAN & DERET

Barisan, adalah susunan suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan Aritmerika.

contoh:

1, 2, 3, 4, dst... adalah barisan aritmetika dengan penambahan 1 ke suku berikutnya, atau memiliki beda 1

1, 3, 5, 7, dst... adalah barisan aritmetika dengan beda 2

dst.

jika barisan yang suku berurutannya memiliki kelipatan bilangan tetap, maka barisan tersebut disebut barisan geometri.

contoh:

1, 2, 4, 8, dst... adalah barisan geometri dengan kelipatan 2, atau disebut memiliki rasio 2

1, 1, 1, 1, dst... adalah barisan geometri dengan rasio 1

Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu  barisan bilangan, misal:

deret aritmetika (deret hitung) : 1 + 2 + 3 + 4 = 10

deret geometri (deret ukur) : 1 + 2 + 4 + 8 = 15

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmetika,

Misal: 2, 4, 6, 8, ..., Un

U1 = a = 2

U2 = 4 = 2 + 2 = a + b

U3 = 6 = 4 + 2 = U2 + b = a + b + b  =a + 2b

U4 = 8 = 6 + 2 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

...

Un = U(n-1) + b = a + (n-1)b

dengan,

a = U1 = suku pertama

Un = Suku ke-n

U(n-1) = suku ke (n-1)

b = beda

b = U2 - U1 = U3 - U2 = ... = Un - U(n-1)

contoh soal:

carilah suku ke 32 dari 1, 5, 9, 13, ...

Penyelesaian:

suku ke 32=U32

n = 32

b = 5 - 1 = 4

a = 1

Un = a + (n-1)b

U32 = 1 + (32-1)4

U32 = 1 + 31(4)

U32 = 1 + 124

U32 = 125

Deret Hitung

Misal, 

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (Un-2b) + (Un-b) + Un

Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a

------------------------------------------------------------------- +

2Sn = (a+Un) + (a+b+Un-b) + (a+2b+Un-2b) + ... + (Un+a)

2Sn = (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) + ... + (a+Un) ....... (sebanyak n)

2Sn = n.(a+Un)

Sn = (n/2).(a+Un)

atau

Sn = (n/2).(a + {a+(n-1)b}

Sn = (n/2).{2a + (n-1)b}

Contoh Soal:

Hitunglah jumlah 50 suku pertama dari 2, 9, 16, 23, ...

Penyelesaian:

50 suku pertama,

n = 50

a = 2

b = 7

S50 = ...?

U50 = 2 + (49)7

..... = 2 + 343

..... = 345

Sn = (n/2).(a+Un)

S50 = (50/2).(2+345)

..... = 25(347)

..... = 8675

jadi, julah 50 suku peratama dari barisan tersebut adalah 8675

Sisipan

b' = b/(k+1)

b = beda sebelum disisipi

b' = beda setelah disisipi

dimana, banaknya suku baru setelah disispi adalah:

n' = n + (n-1)k

Sn' = (n/2).(a+Un)

Ut = (1/2).(a+Un), dengan Ut adalah suku tengah untuk n ganjil

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Misal: 1, 2, 4, 8, 16, ...

U1 = a = 1

U2 = 2 = 1.2 = ar

U3 = 4 = 2.2 = (U2)r = (ar)r = a(r^2)

U4 = 8 = 4.2 = (U3)r = (a(r^2))r = a(r^3)

...

Un = 2n = (U(n-1))r = a(r^(n-1))

dengan,

U1 = a = suku pertama

r = rasio

r = (U2)/(U1) = (U3)/(U2) = ... = (Un)/(U(n-1))

Contoh:

tentukan suku ke 6 dari 3, 12, 48, ...

Penyelesaian:

a = 3

r = 12/3 = 4

U6 = ...?

Un = a(r^(n-1))

U6 = 3(4^(5))

... = 3(2^(10))

... = 3(1024)

... = 3072

Deret Geometri

Misal,

    Sn = (a) + (ar) + (a(r^2)) + ... + (a(r^(n-1)))

r(Sn) = (ar) + (a(r^2)) + (a(r^3)) + ... + (a(r^n))

------------------------------------------------------------   -

Sn - r(Sn) = a - a(r^n)

Sn(1-r) = a(1-(r^n))

Sn = [a(1-(r^n)]/[1-r]

Contoh Soal:

Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari 1, 2, 4, 8, ...

Penyelesaian:

a = 1

r = 2

n = 10

S10 = ...?

S10 = [1(1-(2^10))]/[1-2]

..... = [1(1-1024)]/[-1]

..... = (1(-1023))/(-1)

..... = 1023